Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜線的斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式方程可得結(jié)果．（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值得到函數(shù)圖象的大體形狀，在此基礎(chǔ)上判斷出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，

所以，

所以．

又．

所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，

即．

（Ⅱ）由題意得，定義域?yàn)?/span>，

則．

（i）當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的恒成立，故在上單調(diào)遞減，

令，則，.

又，

所以在上有唯一零點(diǎn)．

（ii）當(dāng)時(shí)，令，得.

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故.

①若，，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；

②若，，函數(shù)有唯一零點(diǎn)；

③若，，

令，

則.

令，

則

.

所以函數(shù)在，上各有一零點(diǎn)，從而函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

綜上可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．