Question

【題目】在如圖所示的空間幾何體中，平面平面，與是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，BE和平面ABC所成的角為，且點(diǎn)E在平面ABC上的射影落在的平分線上．

（1）求證：平面ABC；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）先證平面，作平面，那么，再證，得四邊形是平行四邊形，根據(jù)線面垂直的判定定理可得結(jié)論；（2）作，垂足為，連接，可證就是二面角的平面角，再根據(jù)直角三角形性質(zhì)可得二面角的余弦值.

試題解析：（1）證明：由題意知，與是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，取中點(diǎn)，

連接，則，

又因?yàn)槠矫?/span>平面，所以平面，

作平面，那么，

所以點(diǎn)落在上，

所以，

所以，

是邊長(zhǎng)為的等邊三角形

所以

所以四邊形是平行四邊形，

所以，面，面

所以平面

（2）解：作，垂足為，連接，

因?yàn)?/span>⊥平面，所以，又，

所以平面，所以，

所以就是二面角的平面角．

中，，，．

所以．

所以二面角的余弦值為.