Question

【題目】已知四棱柱的所有棱長(zhǎng)都為2，且.

（1）證明：平面平面；

（2）求直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）要證平面平面，轉(zhuǎn)化為證明平面，通過(guò)證明及可得；

（2）連接，由（1）可得為直線(xiàn)與平面所成的角，在中求角的正弦值.另外可以用向量法求線(xiàn)面角.

（1）證明：設(shè)與的交點(diǎn)為，連接，

因?yàn)?/span>，，，

所以，

所以，

又因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以，

另由且，

所以平面，

而平面，所以平面平面.

（2）（法一）連接，由（1）知平面，

所以為直線(xiàn)與平面所成的角，

在菱形中，，

故，

所以

又因?yàn)?/span>，所以，

所以.

（法二）過(guò)作直線(xiàn)平面，分別以、、為、、軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

依題意，得，，，，，

所以，，，

設(shè)平面的法向量為，

所以，令，則，即，

所以，

即直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值為.