Question

（本題滿分14分）
已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，且函數(shù)的圖象在處的切線的斜率為2.
（Ⅰ）求函數(shù)的解析式并求單調(diào)區(qū)間.（5分）
（Ⅱ）設(shè)，其中，問：對于任意的,方程在區(qū)間上是否存在實(shí)數(shù)根？若存在，請確定實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).若不存在，請說明理由.（9分）

Answer 1

（I），單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；
（Ⅱ）對于任意的,方程在區(qū)間上均有實(shí)數(shù)根且當(dāng)時(shí),有唯一的實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí),有兩個(gè)實(shí)數(shù)解。

試題分析：（Ⅰ）由x=0是函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^x（x∈R）的一個(gè)極值點(diǎn)，f^′（0）=0，得到關(guān)于a，b的一個(gè)方程，函數(shù)f（x）的圖象在x=2處的切線的斜率為2e²，f^′（2）=2e²；得到一個(gè)關(guān)于a，b的一個(gè)方程，解方程組求出a，b即可；
（Ⅱ）把求得的f′（x）代入g（x），方程g（x）=（m-1）²在區(qū)間（-2，m）上是否存在實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（x）在區(qū)間（-2，m）上的單調(diào)性、極值、最值問題．
解：（I）………………1分
由……………………2分
又，故………3分
令得或
令得………………4分
故，單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是……5分.
（Ⅱ）解:假設(shè)方程在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)根
設(shè)是方程的實(shí)根，,………………6分
令,從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程=0
在上有實(shí)根,并討論解的個(gè)數(shù)……………………7分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240001235801346.png" style="vertical-align:middle;" />，,
所以 ①當(dāng)時(shí),,所以在上有解,且只有一解.…………………………9分
②當(dāng)時(shí),,但由于,
所以在上有解,且有兩解 ……………………………10分
③當(dāng)時(shí),,所以在上有且只有一解；
當(dāng)時(shí),,
所以在上也有且只有一解…………………………………12分
綜上, 對于任意的,方程在區(qū)間上均有實(shí)數(shù)根且當(dāng)時(shí),有唯一的實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí),有兩個(gè)實(shí)數(shù)解……14分
點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是方程根的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，并能利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程問題。