Question

（2012•遼寧）已知正三棱錐P-ABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為

3

的球面上，若PA，PB，PC兩兩垂直，則球心到截面ABC的距離為

3

3

．

Answer 1

分析：先利用正三棱錐的特點(diǎn)，將球的內(nèi)接三棱錐問(wèn)題轉(zhuǎn)化為球的內(nèi)接正方體問(wèn)題，從而將所求距離轉(zhuǎn)化為正方體中，中心到截面的距離問(wèn)題，利用等體積法可實(shí)現(xiàn)此計(jì)算

解答：解：∵正三棱錐P-ABC，PA，PB，PC兩兩垂直，
∴此正三棱錐的外接球即以PA，PB，PC為三邊的正方體的外接圓O，
∵圓O的半徑為

3

，
∴正方體的邊長(zhǎng)為2，即PA=PB=PC=2
球心到截面ABC的距離即正方體中心到截面ABC的距離
設(shè)P到截面ABC的距離為h，則正三棱錐P-ABC的體積V=

1

3

S_△ABC×h=

1

3

S_△PAB×PC=

1

3

×

1

2

×2×2×2=2

3

△ABC為邊長(zhǎng)為2

2

的正三角形，S_△ABC=

1

2

×

3

4

×(2

2

)2
∴h=

V

S△ABC

=

1 3 × 1 2 ×2×2×2

1 2 × 3 4 ×(2 2 )2

=

2 3

3

∴正方體中心O到截面ABC的距離為

3

-

2 3

3

=

3

3

故答案為

3

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考球的內(nèi)接三棱錐和內(nèi)接正方體間的關(guān)系及其相互轉(zhuǎn)化，棱柱的幾何特征，球的幾何特征，點(diǎn)到面的距離問(wèn)題的解決技巧，有一定難度，屬中檔題