Question

【題目】已知數(shù)列的前項和為，，當(dāng)時，.數(shù)列滿足.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）求數(shù)列的通項公式；

（3）若數(shù)列的前項和為，求證：.

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)證明見詳解.

【解析】

（1）根據(jù)的關(guān)系，即可容易求得.

（2）由遞推公式，進行下標(biāo)的縮減，即可求得；

（3）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和公式，求得，利用導(dǎo)數(shù)即可由函數(shù)單調(diào)性，進行證明.

（1）因為，

故當(dāng)時，，

故可得；

又因為，，解得.

故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，

則.

（2）因為，①

故可得當(dāng)時，

兩邊同乘以，

則②

①②可得：，則.

又當(dāng)時，，故可得，

故.

（3）由（1）可知，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，

故可得；

又因為，故數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列，

故可得，

又.

令，，

因為單調(diào)增函數(shù)，且，

故存在，使得，

故當(dāng)時單調(diào)遞減，當(dāng)時單調(diào)遞增.

又因為，

故存在，使得，

故當(dāng)時單調(diào)遞減，當(dāng)時單調(diào)遞增.

又因為，

故可得，當(dāng)時，

故當(dāng)時，，

即.

故，即證.