Question

【題目】函數(shù)滿足，.

（1）若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】

（1）由得，求導(dǎo)，構(gòu)造新函數(shù)，討論確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)進(jìn)而確定函數(shù)的最值

（2）利用（1）的討論判斷函數(shù)的單調(diào)性確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)而求得的取值范圍

（1）∵，∴，∴.

，令，

時(shí)，，則，在上單調(diào)遞增，

∴，，則不合題意；

時(shí)，，則，在上單調(diào)遞減，時(shí)，，時(shí)，，∴，符合題意；

時(shí)，令，設(shè)根為、，則，，

不妨設(shè)，則有，當(dāng)時(shí)，，則，

在上單調(diào)遞增，，，則，不合題意.

綜上所述，.

（2）時(shí)，由（1）在上單調(diào)遞增，至多一零點(diǎn)，不合題意；

時(shí)，由（1）在上單調(diào)遞減，至多一零點(diǎn)，不合題意；

時(shí)，由（1）在上遞減，上遞增，上遞減，此時(shí)至多三零點(diǎn)，在上遞增，，

令，則，當(dāng)時(shí)，，

令，則，，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，

∴在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，

∴，∴在上單調(diào)遞增，

∴，∴，∴，

又，∴，

當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，

∴，，又，，∴存在三個(gè)零點(diǎn)，

綜上所述，