Question

【題目】給定數(shù)列，若數(shù)列中任意（不同）兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.

（1）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，試判斷是否為封閉數(shù)列，并說明理由；

（2）已知數(shù)列滿足且，設(shè)是該數(shù)列的前項(xiàng)和，試問：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”，使得對任意都有，且，若存在，求數(shù)列的首項(xiàng)的所有取值；若不存在，說明理由；

（3）證明等差數(shù)列成為“封閉數(shù)列”的充要條件是：存在整數(shù)，使．

Answer 1

【答案】（1）不是；見解析（2）或；（3）證明見解析

【解析】

（1）數(shù)列不為封閉數(shù)列．由，2時(shí)，，可得，，可得，即可得出結(jié)論．

（2）數(shù)列滿足且，可得數(shù)列為等差數(shù)列，公差為2．．又是“封閉數(shù)列”，得：對任意，，必存在使，得，故是偶數(shù)，又由已知，，故，可得．

（3）要證明充分必要條件的問題，本題需要從兩個(gè)方面來證明，一是證明充分性，二是證明必要性，證明時(shí)注意所取得數(shù)列的項(xiàng)來驗(yàn)證時(shí)，項(xiàng)要具有一般性．

解：（1）數(shù)列不為封閉數(shù)列．

∵，2時(shí)，，，

可得，，∴，因此不是封閉數(shù)列．

（2）數(shù)列滿足且，

∴數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，則．

又是“封閉數(shù)列”，

∴對任意，，必存在使，

得，故是偶數(shù)，

又由已知，，故，可得：，

可得或或，

經(jīng)過驗(yàn)證可得：或．

（3）證明：（必要性）若存在整數(shù)，使，則任取等差數(shù)列的兩項(xiàng)，，

于是，

由于，，為正整數(shù)，，

是封閉數(shù)列．

（充分性）任取等差數(shù)列的兩項(xiàng)，，若存在使，

則，

故存在，使，

下面證明．

當(dāng)時(shí)，顯然成立．

對，若，則取，對不同的兩項(xiàng)和，存在使，

即，這與，矛盾，

故存在整數(shù)，使．