Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓上一動點(diǎn)（與左、右頂點(diǎn)不重合）.已知的面積的最大值為，橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，過作軸的垂線交橢圓與另一點(diǎn)（不與、重合）.設(shè)的外心為，求證為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由已知條件得出關(guān)于、、的方程組，求出、的值，進(jìn)而可得出橢圓的方程；

（2）由題意可知直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式求出，利用線段和的垂直平分線的交點(diǎn)得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出，再對進(jìn)行化簡即可.

（1）的面積的最大值為，

由已知條件得，解得，因此，橢圓的方程為；

（2）由題意可知，直線的斜率存在，且不為零，易知點(diǎn)，

設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，可知點(diǎn)，

聯(lián)立，消去得，

由韋達(dá)定理得，，

由弦長公式得 ，

，，

所以，線段的中點(diǎn)為，

則線段的垂直平分線的方程為，即，

線段的垂直平分線為軸，在直線方程中，令，得.

則點(diǎn)，，

因此，（定值）.