Question

如圖，△ABC是邊長為a的正三角形，現(xiàn)隨機(jī)向圓所在區(qū)域投一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好落在△ABC內(nèi)的概率是（　�。�

• A．

  2 2

  3π

• B．

  3 3

  4π

• C．

  4 3

  3π

• D．

  2

  2π

Answer 1

分析：根據(jù)正三角形的性質(zhì)算出外接圓半徑等于

3

3

a，從而得到外接圓的面積S=

πa2

3

．再由三角形面積公式算出△ABC的面積S'=

3 a2

4

，根據(jù)幾何概型公式加以計(jì)算，可得所求概率．

解答：解：設(shè)O為外接圓的圓心，則O是三條高線CD、BE、AF的交點(diǎn)，
可得CO=

2

3

CD=

2

3

×

3

2

a=

3

3

a，
∴△ABC的外接圓面積為S=π×(

3

3

a)2=

πa2

3

又∵△ABC的面積為S'=

1

2

×a×a×sin60°=

3 a2

4

，
∴隨機(jī)向圓所在區(qū)域投一點(diǎn)，
則該點(diǎn)恰好落在△ABC內(nèi)的概率P=

S′

S

=

3 a2 4

πa2 3

=

3 3

4π

．
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題給出幾何概型，求點(diǎn)恰好落在△ABC內(nèi)的概率．著重考查了正三角形的性質(zhì)、三角形與圓的面積計(jì)算和幾何概型的計(jì)算等知識(shí)，屬于中檔題．