Question

如圖：△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，EC⊥面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中點(diǎn)．
①求證：DE=DA；
②求證：DM∥面ABC；
③求C到面ADE的距離．

Answer 1

分析：①利用勾股定理求得DE和AD 的長(zhǎng)，從而得到結(jié)論．
②設(shè)AC的中點(diǎn)為F，證得BDMF為矩形，可得BF∥DM，進(jìn)而證得DM∥平面ABC．
③易證DM⊥平面AEC，故平面ADE⊥平面AEC，過(guò)C作CH⊥AE，則CH⊥平面ADE，面積法求得CH的值．

解答：解：①證明：∵EC⊥面ABC，BD∥CE，∴DB⊥平面ABC．∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形且CE=CA=2BD，
∴在直角三角形ABC中，可求得AD=

5

． 在直角梯形ECBD中，可求得DE=

5

，∴DE=AD．
②證明：設(shè)AC的中點(diǎn)為F，則MF∥EC，MF=

1

2

EC，由①DB∥EC，DB=

1

2

EC，
∴MF∥DB，MF=DB，故BDMF為矩形，∴BF∥DM． 又∵DM?平面ABC，BF?平面ABC，∴DM∥平面ABC．
③易證DM⊥平面AEC，∴平面ADE⊥平面AEC，
過(guò)C作CH⊥AE，則CH⊥平面ADE，故CH之長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面ADE的距離，
由面積法求得 CH= 

CA•CE

AE

=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線段相等，線面平行的方法，構(gòu)造矩形BDMF是解題的關(guān)鍵．