【題目】已知
，
是
的中點．
（1）若
，求向量
與向量
的夾角的余弦值；
（2）若
是線段
上任意一點，且
，求
的最小值；
（3）若點
是
內(nèi)一點，且
，求
的最小值．
【答案】（1）
；（2）
；（3）6
【解析】
（1）根據(jù)向量數(shù)量積等于
，可得
，以
為原點，
為
軸，
為
軸建立平面直角坐標系，根據(jù)向量加法、減法以及數(shù)量積的坐標表示即可求向量的夾角.
（2）以為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系，設
，利用向量數(shù)量積的坐標表示即可求解.
（3）設
，可得
，利用向量的數(shù)量積可得
，
，再將
平方，根據(jù)向量數(shù)量積定義以及基本不等式即可求解.
（1）因為
，所以，
以為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系．
令
，則
，
所以
，
設向量
，與向量
的夾角為
，
，
（2）因為，所以，
以為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系．
因為
，則
，
設
，
當且僅當
時，
的最小值是．
（3）設
，
，
同理：
，
當且僅當
時，所以
．
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】對某校高三年級學生參加社區(qū)服務次數(shù)進行統(tǒng)計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區(qū)服務的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表如下，頻率分布直方圖如圖：
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
[10，15） | 10 | 0.25 |
[15，20） | 24 | n |
[20，25） | m | p |
[25，30） | 2 | 0.05 |
合計 | M | 1 |
（1）求出表中M，p及圖中a的值；
（2）若該校高三學生有240人，試估計該校高三學生參加社區(qū)服務的次數(shù)在區(qū)間[10，15）內(nèi)的人數(shù)；
（3）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務的次數(shù)不少于20次的學生中任選2人，求至多一人參加社區(qū)服務次數(shù)在區(qū)間[25，30）內(nèi)的概率．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，且過點
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）過橢圓
左焦點的直線
與橢圓
交于
兩點，直線
過坐標原點且直線
與
的斜率互為相反數(shù)，直線
與橢圓交于
兩點且均不與點
重合，設直線
的斜率為
，直線
的斜率為
.證明： 
為定值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】△ABC在內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB.
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的最大值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】為了配合新冠疫情防控，某市組織了以“停課不停學，成長不停歇”為主題的“空中課堂”，為了了解一周內(nèi)學生的線上學習情況，從該市中抽取1000名學生進行調(diào)査，根據(jù)所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）為了估計從該市任意抽取的3名同學中恰有2人線上學習時間在[200,300）的概率
，特設計如下隨機模擬的方法：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，依次用0,1,2,3，…9的前若干個數(shù)字表示線上學習時間在[200,300）的同學，剩余的數(shù)字表示線上學習時間不在[200,300）的同學；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表線上學習的情況．
假設用上述隨機模擬方法已產(chǎn)生了表中的30組隨機數(shù)，請根據(jù)這批隨機數(shù)估計概率的值；
907 966 191 925 271 569 812 458 932 683 431 257 027 556
438 873 730 113 669 206 232 433 474 537 679 138 602 231
（2）為了進一步進行調(diào)查，用分層抽樣的方法從這1000名學生中抽出20名同學，在抽取的20人中，再從線上學習時間[350,450）（350分鐘至450分鐘之間）的同學中任意選擇兩名，求這兩名同學來自同一組的概率．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】為了研究黏蟲孵化的平均溫度
（單位： 
）與孵化天數(shù)
之間的關系，某課外興趣小組通過試驗得到如下6組數(shù)據(jù)：
組號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
平均溫度 | 15.3 | 16.8 | 17.4 | 18 | 19.5 | 21 |
孵化天數(shù) | 16.7 | 14.8 | 13.9 | 13.5 | 8.4 | 6.2 |
他們分別用兩種模型①
，②
分別進行擬合，得到相應的回歸方程并進行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖：
經(jīng)計算得
，
（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應選擇哪個模型？（給出判斷即可，不必說明理由）
（2）殘差絕對值大于1的數(shù)據(jù)被認為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除，剔除后應用最小二乘法建立
關于
的線性回歸方程.（精確到0.1）
，.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
，若函數(shù)
有三個不同的零點
，
，
（其中
），則
的取值范圍為__________．
【答案】
【解析】如圖：
，
，作出函數(shù)圖象如圖所示
，
，作出函數(shù)圖象如圖所示
，由
有三個不同的零點
，如圖
令
得
為滿足有三個零點，如圖可得
，
點睛：本題考查了函數(shù)零點問題，先由導數(shù)求出兩個函數(shù)的單調(diào)性，繼而畫出函數(shù)圖像，再由函數(shù)的零點個數(shù)確定參量取值范圍，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的兩根問題來求解，本題需要化歸轉(zhuǎn)化，函數(shù)的思想，零點問題等較為綜合，有很大難度。
【題型】填空題
【結(jié)束】
17
【題目】已知等比數(shù)列
的前
項和為
，且滿足
.
（1）求數(shù)列
的通項公式；
（2）若數(shù)列
滿足
，求數(shù)列
的前
項和
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖一塊長方形區(qū)域ABCD,AD=2(km),AB=1(km).在邊AD的中點O處,有一個可轉(zhuǎn)動的探照燈,其照射角∠EOF始終為
,設∠AOE=
,探照燈O照射在長方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積為S.
(1)當0≤
時,寫出S關于的函數(shù)表達式;
(2)若探照燈每9分鐘旋轉(zhuǎn)“一個來回”(OE自OA轉(zhuǎn)到OC,再回到OA,稱“一個來回”,忽略OE在OA及OC反向旋轉(zhuǎn)時所用時間),且轉(zhuǎn)動的角速度大小一定,設AB邊上有一點G,且∠AOG
,求點G在“一個來回”中,被照到的時間.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某地區(qū)工會利用 “健步行
”開展健步走積分獎勵活動．會員每天走5千步可獲積分30分(不足5千步不積分)，每多走2千步再積20分（不足2千步不積分）．記年齡不超過40歲的會員為
類會員，年齡大于40歲的會員為
類會員．為了解會員的健步走情況，工會從
兩類會員中各隨機抽取
名會員，統(tǒng)計了某天他們健步走的步數(shù)，并將樣本數(shù)據(jù)分為
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
九組，將抽取的
類會員的樣本數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖， 
類會員的樣本數(shù)據(jù)繪制成頻率分布表（圖、表如下所示）．
（Ⅰ）求
和
的值；
（Ⅱ）從該地區(qū)
類會員中隨機抽取
名，設這
名會員中健步走的步數(shù)在
千步以上（含
千步）的人數(shù)為
，求
的分布列和數(shù)學期望；
（Ⅲ）設該地區(qū)
類會員和
類會員的平均積分分別為
和
，試比較
和
的大�。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）．
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