Question

【題目】如圖，在平面四邊形中，等邊三角形，，以為折痕將折起，使得平面平面．

（1）設(shè)為的中點，求證：平面；

（2）若與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）推導(dǎo)出平面，從而，再求出，由此能證明平面．

（2）由平面，知即為與平面所成角，從而在直角中，，以為坐標(biāo)原點，分別以，所在的方向作為軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量法能求出二面角的余弦值．

證明：（1）因為平面平面，

平面平面，平面，，

所以平面．

又平面，所以．

在等邊中，因為為的中點，所以．

因為，，，

所以平面．

（2）解：由（1）知平面，所以即為與平面所成角，

于是在直角中，．

以為坐標(biāo)原點，分別以，所在的方向作為軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)等邊的邊長為，

則，，，，，

，，，.

設(shè)平面的一個法向量為，

則，即，

令，則，，于是.

設(shè)平面的一個法向量為，

則，即，

解得，令，則，于是．

所以.

由題意知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．