【題目】已知平面向
，滿足
，且
，
與
夾角余弦值的最小值等于_________.
【答案】
【解析】
根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算律化簡
,結合題中所給模長用
表示出
,即可用表示出
與
夾角
的余弦值;利用換元法令
,由平面向量數(shù)量積定義及三角函數(shù)的值域,求得
的范圍.代入
中求得m的取值范圍.再根據(jù)平面向量數(shù)量積定義,用m表示出
與夾角余弦值,即可由m的取值范圍結合表達式的性質得解.
平面向
,滿足
,則
因為
展開化簡可得
,
因為
,代入化簡可得
設與的夾角為
則由上式可得
而
代入上式化簡可得
令,設
與
的夾角為
,則由平面向量數(shù)量積定義可得
,而
所以
由余弦函數(shù)的值域可得,即
將不等式化簡可得
,解不等式可得
綜上可得
,即
而由平面向量數(shù)量積的運算可知,設與夾角為
,
則
當分母越大時,
的值越小;當的值越小時,分母的值越大
所以當
時, 的值最小
代入可得
所以與夾角余弦值的最小值等于
故答案為:
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】2019年某地初中畢業(yè)升學體育考試規(guī)定：考生必須參加長跑、擲實心球、1分鐘跳繩三項測試，三項測試各項20分，滿分60分．某學校在初三上學期開始時，為掌握全年級學生1分鐘跳繩情況，按照男女比例利用分層抽樣抽取了100名學生進行測試，其中女生54人，得到下面的頻率分布直方圖，計分規(guī)則如表1：
表1
每分鐘跳繩個數(shù) |
|
|
|
|
得分 | 17 | 18 | 19 | 20 |
（1）規(guī)定：學生1分鐘跳繩得分20分為優(yōu)秀，在抽取的100名學生中，男生跳繩個數(shù)大于等于185個的有28人，根據(jù)已知條件完成表2，并根據(jù)這100名學生測試成績，能否有99%的把握認為學生1分鐘跳繩成績優(yōu)秀與性別有關？
表2
跳繩個數(shù) |
|
| 合計 |
男生 | 28 | ||
女生 | 54 | ||
合計 | 100 |
附：參考公式：
臨界值表：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
（2）根據(jù)往年經(jīng)驗，該校初三年級學生經(jīng)過一年的訓練，正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)都有明顯進步．假設今年正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)比初三上學期開始時個數(shù)增加10個，全年級恰有2000名學生，所有學生的跳繩個數(shù)
服從正態(tài)分布
（用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計總體的期望和方差，各組數(shù)據(jù)用中點值代替）．
①估計正式測試時，1分鐘跳182個以上的人數(shù)（結果四舍五入到整數(shù)）；
②若在全年級所有學生中任意選取3人，正式測試時1分鐘跳195個以上的人數(shù)為
，求的分布列及期望．
附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則
，
，
．
．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】為了解兒子身高與其父親身高的關系，隨機調(diào)查了5對父子的身高，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示．
編 號 | A | B | C | D | E |
父親身高 | 174 | 176 | 176 | 176 | 178 |
兒子身高 | 175 | 175 | 176 | 177 | 177 |
（1）從這五對父子任意選取兩對，用編號表示出所有可能取得的結果，并求隨機事件
“兩對父子中兒子的身高都不低于父親的身高”發(fā)生的概率；
（2）由表中數(shù)據(jù)，利用“最小二乘法”求
關于
的回歸直線的方程．
參考公式：
，
；回歸直線：
．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】平面直角坐標系xOy內(nèi)，點
，動點
和Q關于原點O對稱，
，
.
（1）以原點O和點A為頂點作等腰直角三角形ABO，使
，求向量
坐標；
（2）若
且P、M、A三點共線，求
的最小值；
（3）若
，且
，
，求直線AQ的解析式.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知兩個不相等的非零向量
與
，兩組向量
，
，
，
，
和
，
，
，
，
均有2個和3個按照某種順序排成一列所構成，記
，且
表示
所有可能取值中的最小值，有以下結論：①有5個不同的值；②若
，則與
無關；③ 若∥，則與
無關；④ 若
，則
；⑤若
，且
，則與的夾角為
；正確的結論的序號是（ ）
A.①②④B.②④C.②③D.①⑤
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】關于下列結論：
①函數(shù)
是偶函數(shù)；
②直線
是函數(shù)
的圖象的一條對稱軸；
③將函數(shù)的圖象向左平移
個單位后，所得圖象的函數(shù)解析式為
；
④函數(shù)
的圖象關于點
成中心對稱.
其中所有正確結論的序號為______.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某單位有員工1000名，平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元．為增加企業(yè)競爭力，決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結構，調(diào)整出
名員工從事第三產(chǎn)業(yè)，調(diào)整后平均每人每年創(chuàng)造利潤為
萬元
，剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤可以提高
．
（1）若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤，則最多調(diào)整出多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)？
（2）若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤條件下，若要求調(diào)整出的員工創(chuàng)造出的年總利潤始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤，則
的取值范圍是多少？
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系
中，直線
與直線
之間的陰影部分記為
，區(qū)域中動點
到
的距離之積為1.
（1）求點
的軌跡
的方程；
（2）對于區(qū)域中動點
，求
的取值范圍；
（3）動直線
穿過區(qū)域，分別交直線于
兩點，若直線與點的軌跡有且只有一個公共點，求證：
的面積值為定值.
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