【題目】已知平面向
，滿足
，且
，
與
夾角余弦值的最小值等于_________.
【答案】
【解析】
根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn)
,結(jié)合題中所給模長(zhǎng)用
表示出
,即可用表示出
與
夾角
的余弦值;利用換元法令
,由平面向量數(shù)量積定義及三角函數(shù)的值域,求得
的范圍.代入
中求得m的取值范圍.再根據(jù)平面向量數(shù)量積定義,用m表示出
與夾角余弦值,即可由m的取值范圍結(jié)合表達(dá)式的性質(zhì)得解.
平面向
,滿足
,則
因?yàn)?/span>
展開(kāi)化簡(jiǎn)可得
,
因?yàn)?/span>
,代入化簡(jiǎn)可得
設(shè)與的夾角為
則由上式可得
而
代入上式化簡(jiǎn)可得
令,設(shè)
與
的夾角為
,則由平面向量數(shù)量積定義可得
,而
所以
由余弦函數(shù)的值域可得,即
將不等式化簡(jiǎn)可得
,解不等式可得
綜上可得
,即
而由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可知,設(shè)與夾角為
,
則
當(dāng)分母越大時(shí),
的值越小;當(dāng)的值越小時(shí),分母的值越大
所以當(dāng)
時(shí), 的值最小
代入可得
所以與夾角余弦值的最小值等于
故答案為:
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】2019年某地初中畢業(yè)升學(xué)體育考試規(guī)定：考生必須參加長(zhǎng)跑、擲實(shí)心球、1分鐘跳繩三項(xiàng)測(cè)試，三項(xiàng)測(cè)試各項(xiàng)20分，滿分60分．某學(xué)校在初三上學(xué)期開(kāi)始時(shí)，為掌握全年級(jí)學(xué)生1分鐘跳繩情況，按照男女比例利用分層抽樣抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，其中女生54人，得到下面的頻率分布直方圖，計(jì)分規(guī)則如表1：
表1
每分鐘跳繩個(gè)數(shù) |
|
|
|
|
得分 | 17 | 18 | 19 | 20 |
（1）規(guī)定：學(xué)生1分鐘跳繩得分20分為優(yōu)秀，在抽取的100名學(xué)生中，男生跳繩個(gè)數(shù)大于等于185個(gè)的有28人，根據(jù)已知條件完成表2，并根據(jù)這100名學(xué)生測(cè)試成績(jī)，能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生1分鐘跳繩成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān)？
表2
跳繩個(gè)數(shù) |
|
| 合計(jì) |
男生 | 28 | ||
女生 | 54 | ||
合計(jì) | 100 |
附：參考公式：
臨界值表：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
（2）根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校初三年級(jí)學(xué)生經(jīng)過(guò)一年的訓(xùn)練，正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步．假設(shè)今年正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比初三上學(xué)期開(kāi)始時(shí)個(gè)數(shù)增加10個(gè)，全年級(jí)恰有2000名學(xué)生，所有學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)
服從正態(tài)分布
（用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計(jì)總體的期望和方差，各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替）．
①估計(jì)正式測(cè)試時(shí)，1分鐘跳182個(gè)以上的人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；
②若在全年級(jí)所有學(xué)生中任意選取3人，正式測(cè)試時(shí)1分鐘跳195個(gè)以上的人數(shù)為
，求的分布列及期望．
附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則
，
，
．
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了5對(duì)父子的身高，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示．
編 號(hào) | A | B | C | D | E |
父親身高 | 174 | 176 | 176 | 176 | 178 |
兒子身高 | 175 | 175 | 176 | 177 | 177 |
（1）從這五對(duì)父子任意選取兩對(duì)，用編號(hào)表示出所有可能取得的結(jié)果，并求隨機(jī)事件
“兩對(duì)父子中兒子的身高都不低于父親的身高”發(fā)生的概率；
（2）由表中數(shù)據(jù)，利用“最小二乘法”求
關(guān)于
的回歸直線的方程．
參考公式：
，
；回歸直線：
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，點(diǎn)
，動(dòng)點(diǎn)
和Q關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，
，
.
（1）以原點(diǎn)O和點(diǎn)A為頂點(diǎn)作等腰直角三角形ABO，使
，求向量
坐標(biāo)；
（2）若
且P、M、A三點(diǎn)共線，求
的最小值；
（3）若
，且
，
，求直線AQ的解析式.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知兩個(gè)不相等的非零向量
與
，兩組向量
，
，
，
，
和
，
，
，
，
均有2個(gè)和3個(gè)按照某種順序排成一列所構(gòu)成，記
，且
表示
所有可能取值中的最小值，有以下結(jié)論：①有5個(gè)不同的值；②若
，則與
無(wú)關(guān)；③ 若∥，則與
無(wú)關(guān)；④ 若
，則
；⑤若
，且
，則與的夾角為
；正確的結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A.①②④B.②④C.②③D.①⑤
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】關(guān)于下列結(jié)論：
①函數(shù)
是偶函數(shù)；
②直線
是函數(shù)
的圖象的一條對(duì)稱軸；
③將函數(shù)的圖象向左平移
個(gè)單位后，所得圖象的函數(shù)解析式為
；
④函數(shù)
的圖象關(guān)于點(diǎn)
成中心對(duì)稱.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為______.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某單位有員工1000名，平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)10萬(wàn)元．為增加企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力，決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，調(diào)整出
名員工從事第三產(chǎn)業(yè)，調(diào)整后平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)為
萬(wàn)元
，剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤(rùn)可以提高
．
（1）若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來(lái)1000名員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)，則最多調(diào)整出多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)？
（2）若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來(lái)1000名員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)條件下，若要求調(diào)整出的員工創(chuàng)造出的年總利潤(rùn)始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)，則
的取值范圍是多少？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系
中，直線
與直線
之間的陰影部分記為
，區(qū)域中動(dòng)點(diǎn)
到
的距離之積為1.
（1）求點(diǎn)
的軌跡
的方程；
（2）對(duì)于區(qū)域中動(dòng)點(diǎn)
，求
的取值范圍；
（3）動(dòng)直線
穿過(guò)區(qū)域，分別交直線于
兩點(diǎn)，若直線與點(diǎn)的軌跡有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求證：
的面積值為定值.
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