Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線之間的陰影部分記為，區(qū)域中動(dòng)點(diǎn)到的距離之積為1.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）對(duì)于區(qū)域中動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）動(dòng)直線穿過區(qū)域，分別交直線于兩點(diǎn)，若直線與點(diǎn)的軌跡有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求證：的面積值為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離關(guān)系建立方程即可求出點(diǎn)的軌跡方程；

（2）將 變形為，利用其幾何意義求范圍即可；
（3）根據(jù)直線和雙曲線的位置關(guān)系，結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行求解即可．

解：（1）由題意得，即 ．
因?yàn)辄c(diǎn)在區(qū)域內(nèi)，所以與同號(hào)，得，
即點(diǎn)的軌跡的方程為；

（2），

的幾何意義為：區(qū)域中動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方再減去5.

觀察圖形得，區(qū)域中動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離，無最大值，

即的最小值為，

的取值范圍為；
（3）設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，

，，得．
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，

設(shè)其方程為，顯然，則，
把直線的方程與:聯(lián)立

得，
由直線與軌跡C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

知，
，

或．
設(shè)，

由得，

同理，得．
．
綜上，的面積恒為定值2．