設(shè)數(shù)列
的前
項和
滿足
,其中
.
⑴若
,求
及
;
⑵若
,求證:
,并給出等號成立的充要條件.
（1）
，
；（2）當(dāng)且僅當(dāng)
或
時等號成立.
解析試題分析：(1)已知 與 的關(guān)系式求出首項和通項，通常都是取特值和寫一個遞推式相減即可.(2)由（1）得到
，分析第1,2項可得后要證的問題等價于
本題是通過利用對稱項
的關(guān)系來證明的，該對稱項是通過對
的范圍的討論得到的. 通過累加后得到
，然后不等式的兩邊同時加上
即可得到答案.
試題解析：⑴
………①,
當(dāng)
時代入①,得
,解得
;
由①得
,兩式相減得
(
),故
,故
為公比為2的等比數(shù)列,
故
(對也滿足);
⑵當(dāng)
或
時,顯然
,等號成立.
設(shè)
,且,由(1)知,,,所以要證的不等式化為: 
即證: 
當(dāng)時,上面不等式的等號成立.
當(dāng)
時,
與
,(
)同為負;
當(dāng)
時, 與,()同為正;
因此當(dāng)且
時,總有 ()()>0,即,().
上面不等式對
從1到
求和得,
;
由此得
;
綜上,當(dāng)且時,有,當(dāng)且僅當(dāng)或時等號成立.
考點：1.數(shù)列的求和與通項的關(guān)系.2.數(shù)列中不等式的證明.3.數(shù)列的累加法的應(yīng)用.4.分類的思想.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知數(shù)列
滿足：
其中
，數(shù)列
滿足：
（1）求
；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）是否存在正數(shù)k，使得數(shù)列的每一項均為整數(shù)，如果不存在，說明理由，如果存在，求出所有的k.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知數(shù)列
，
，且滿足
．
（1）求證數(shù)列
是等差數(shù)列；
（2）設(shè)
，求數(shù)列
的前ｎ項和
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知數(shù)列
的首項
其中
，
，令集合
.
（1）若
是數(shù)列中首次為1的項，請寫出所有這樣數(shù)列的前三項；
（2）求證：對
恒有
成立；
（3）求證：
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
設(shè)公比大于零的等比數(shù)列
的前
項和為
，且
，
，數(shù)列
的前項和為
，滿足
，
，
．
（Ⅰ）求數(shù)列、的通項公式；
（Ⅱ）滿足
對所有的
均成立，求實數(shù)
的取值范圍．
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已知數(shù)列
是等比數(shù)列，首項
.
(l)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列
，證明數(shù)列
是等差數(shù)列并求前n項和
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
等比數(shù)列
的前
項和為
，已知對任意的
，點
均在函數(shù)
且
均為常數(shù)）的圖像上．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）當(dāng)
時，記
，求數(shù)列
的前項和
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
設(shè)函數(shù)
，數(shù)列
前
項和
，
，數(shù)列
，滿足
.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式
；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列
的前項和為
，數(shù)列的前項和為
，證明：
。
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的前
項和為
,
. 
,求數(shù)列
的前
項和
.