(本小題滿分12分)
已知函數(shù)

,其中

。
(1)當(dāng)

滿足什么條件時(shí),

取得極值?
(2)已知

,且

在區(qū)間

上單調(diào)遞增,試用

表示出

的取值范圍。
(1)

(2)當(dāng)

時(shí),

;當(dāng)

時(shí),

。
(1)由已知得

,令

,得

,

要取得極值,方程

必須有解,
所以△

,即

,此時(shí)方程

的根為

,

,
所以

。
當(dāng)

時(shí),
x
| (-∞,x1)
| x 1
| (x1,x2)
| x2
| (x2,+∞)
|
f’(x)
| +
| 0
| -
| 0
| +
|
f (x)
| 增函數(shù)
| 極大值
| 減函數(shù)
| 極小值
| 增函數(shù)
|
所以

在
x 1,
x2處分別取得極大值和極小值;
當(dāng)

時(shí),

x
| (-∞,x2)
| x 2
| (x2,x1)
| x1
| (x1,+∞)
|
f’(x)
| -
| 0
| +
| 0
| -
|
f (x)
| 減函數(shù)
| 極小值
| 增函數(shù)
| 極大值
| 減函數(shù)
|
所以

在x
1, x
2處分別取得極大值和極小值。
綜上,當(dāng)

滿足

時(shí),

取得極值。
(2)要使

在區(qū)間

上單調(diào)遞增,需使

在

上恒成立。
即

恒成立,所以

設(shè)

,

,
令

得

或

(舍去),
當(dāng)

時(shí),

,當(dāng)

時(shí)

,

單調(diào)增函數(shù);
當(dāng)

時(shí)

,

單調(diào)減函數(shù),
所以當(dāng)

時(shí),

取得最大,最大值為

。
所以

當(dāng)

時(shí),

,此時(shí)

在區(qū)間

恒成立,所以

在區(qū)間

上單調(diào)遞增,當(dāng)

時(shí)

最大,最大值為

,所以

綜上,當(dāng)

時(shí),

;當(dāng)

時(shí),

。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)已知函數(shù)

,

.
(1)求

在區(qū)間

的最小值;(2)求證:若

,則不等式

≥

對于任意的

恒成立;(3)求證:若

,則不等式

≥

對于任意的

恒成立.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)直線

. 若直線
l與曲線
S同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件:
①直線
l與曲線
S相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn);
②對任意
x∈
R都有

. 則稱直線
l為曲線
S的“上夾線”.
(1) 類比“上夾線”的定義,給出“下夾線”的定義;
(2) 已知函數(shù)

取得極小值

,求
a,
b的值;
(3) 證明:直線

是(2)中曲線

的“上夾線”。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)

(1)若

有極值,求
b的取值范圍;
(2)若

在

處取得極值時(shí),當(dāng)

恒成立,求
c的取值范圍;
(3)若

在

處取得極值時(shí),證明:對[-1,2]內(nèi)的任意兩個(gè)值

都有

.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
函數(shù)
y=
x2cos
x的導(dǎo)數(shù)為( )
A.y′=2xcosx-x2sinx | B.y′=2xcosx+x2sinx |
C.y′=x2cosx-2xsinx | D.y′=xcosx-x2sinx |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)

的兩條切線
PM、
PN,切點(diǎn)分別為
M、
N.
(I)當(dāng)

時(shí),求函數(shù)

的單調(diào)遞增區(qū)間;
(II)設(shè)|
MN|=

,試求函數(shù)

的表達(dá)式;
(III)在(II)的條件下,若對任意的正整數(shù)

,在區(qū)間

內(nèi),總存在
m+1個(gè)數(shù)

使得不等式

成立,求
m的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分13分)已知函數(shù)

(x>0)在x = 1處
取得極值–3–c,其中a,b,c為常數(shù)。
(1)試確定a,b的值;(6分)
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(4分)
(3)若對任意x>0,不等式

恒成立,求c的取值范圍。(3分)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)函數(shù)

(a>0)
(1)求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間,極大值,極小值
(2)若

時(shí),恒有

>

,求實(shí)數(shù)a的取值范圍
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知函數(shù)

的導(dǎo)函數(shù)

,且

的值為整數(shù),當(dāng)

時(shí),

所有可能取的整數(shù)值有且只有1個(gè),則
。
查看答案和解析>>