【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)設(shè)函數(shù),試討論函數(shù)
的單調(diào)性;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)
,求函數(shù)
的最小值.
【答案】(Ⅰ) 函數(shù)在
上單增,在
上單減,在
上單增(Ⅱ)
【解析】試題分析:(Ⅰ) ,
,討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)從而得函數(shù)單調(diào)性;
(Ⅱ)函數(shù),令
,則
,從而通過(guò)求
和
的最小值進(jìn)而可得
的最小值.
試題解析:
(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
,
,
故
.
令,得
或
,
當(dāng)時(shí),
,
在
上為單調(diào)增函數(shù),
當(dāng)時(shí),
,
在
上為單調(diào)減函數(shù),
當(dāng)時(shí),
,
在
上為單調(diào)增函數(shù),
故函數(shù)在
上單增,在
上單減,在
上單增.
(Ⅱ)函數(shù),
由(Ⅰ)得函數(shù)在
上單增,在
上單減,在
上單增,
∵時(shí),
,而
,
故函數(shù)的最小值為
,
令,得
,
當(dāng)時(shí),
,
在
上為單調(diào)減函數(shù),
當(dāng)時(shí),
,
在
上為單調(diào)增函數(shù),
∴函數(shù)的最小值為
,
故當(dāng)時(shí),函數(shù)
的最小值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,過(guò)點(diǎn)
的直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).以原點(diǎn)
為極點(diǎn),
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求直線的普通方程和曲線
的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與曲線
相交于
,
兩點(diǎn),求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知的頂點(diǎn)
,
在橢圓
上,
在直線
上,且
.
()求橢圓
的離心率.
()當(dāng)
邊通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)
時(shí),求
的長(zhǎng)及
的面積.
()當(dāng)
,且斜邊
的長(zhǎng)最大時(shí),求
所在直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校高三年級(jí)50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,根據(jù)他們的成績(jī)繪制了如圖所示的頻率分布直方圖,已知分?jǐn)?shù)在的矩形面積為
,
求:分?jǐn)?shù)在
的學(xué)生人數(shù);
這50名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)
精確到
;
若分?jǐn)?shù)高于60分就能進(jìn)入復(fù)賽,從不能進(jìn)入復(fù)賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名,求兩人來(lái)自不同組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F,左頂點(diǎn)為A,已知
,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),e為橢圓的離心率.
求橢圓C的方程;
是否存在斜率為
的直線l,使得當(dāng)直線l與橢圓C有兩個(gè)不同交點(diǎn)M,N時(shí),能在直線
上找到一點(diǎn)P,在橢圓C上找到一點(diǎn)Q,滿足
?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐的底面為菱形,且
,
是
中點(diǎn).
(Ⅰ)證明: 平面
;
(Ⅱ)若,
,求平面
與平面
所成二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】國(guó)內(nèi)某知名大學(xué)有男生14000人,女生10000人.該校體育學(xué)院想了解本校學(xué)生的運(yùn)動(dòng)狀況,根據(jù)性別采取分層抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取120人,統(tǒng)計(jì)他們平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間(已知該校學(xué)生平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間范圍是
),如下表所示.
男生平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分布情況:
女生平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分布情況:
(1)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)均可用該組區(qū)間的中間值代替,請(qǐng)根據(jù)樣本估算該校男生平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間(結(jié)果精確到0.1).
(2)若規(guī)定平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不少于的學(xué)生為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”,低于
的學(xué)生為“非運(yùn)動(dòng)達(dá)人”.
(ⅰ)根據(jù)樣本估算該!斑\(yùn)動(dòng)達(dá)人”的數(shù)量;
(ⅱ)請(qǐng)根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面列聯(lián)表,并通過(guò)計(jì)算判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”與性別有關(guān).
參考公式: ,其中
.
參考數(shù)據(jù):
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示的幾何體是由以等邊三角形為底面的棱柱被平面
所截而得,已知
平面
為
的中點(diǎn),
面
.
(1)求的長(zhǎng);
(2)求證:面面
;
(3)求平面與平面
相交所成銳角二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐的底面為等腰梯形,
∥
,
,垂足為
,
是四棱錐的高。
(Ⅰ)證明:平面
平面
;
(Ⅱ)若,
60°,求四棱錐
的體積。
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