Question

【題目】德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其名命名的函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，其中為實數(shù)集，為有理數(shù)集，則關(guān)于函數(shù)有如下四個命題：①；②函數(shù)是偶函數(shù)；③任取一個不為零的有理數(shù)，對任意的恒成立；④存在三個點(diǎn)，，，使得為等邊三角形.其中真命題的個數(shù)有（ ）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)所給的定義，運(yùn)用分類討論的方法、取特殊值法進(jìn)行逐一判斷即可.

①∵當(dāng)為有理數(shù)時，；當(dāng)為無理數(shù)時，，

∴當(dāng)為有理數(shù)時，；

當(dāng)為無理數(shù)時，，

即不管是有理數(shù)還是無理數(shù)，均有，故①正確；

②∵有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù)，

∴對任意，都有，故②正確；

③若是有理數(shù)，則也是有理數(shù)； 若是無理數(shù)，則也是無理數(shù)，

∴根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，任取一個不為零的有理數(shù)，對恒成立，故③正確；

④取，，，可得，，，

∴，，，恰好為等邊三角形，故④正確.

故選：D.