Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）求單調(diào)區(qū)間；

（2）設，證明：在上有最小值；設在上的最小值為，求函數(shù)的值域．

Answer 1

【答案】（1）在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

（2）.

【解析】分析：（1）先求導數(shù)，再求導函數(shù)零點，最后根據(jù)導函數(shù)符號確定單調(diào)區(qū)間，（2）先求導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)單調(diào)性以及零點存在定理確定導函數(shù)有且僅有一個零點，再根據(jù)導函數(shù)符號確定單調(diào)性，由單調(diào)性確定最小值.根據(jù)導函數(shù)零點條件得，根據(jù)（1）的單調(diào)性確定值域.

詳解：（1）．

由得，或；由得．

所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

（2）．設，則當時，， 在上是增函數(shù)．

因為，，故在上有唯一零點．

當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．故當時，在上的最小值．

因為，，所以．

當時，是的遞減函數(shù)，所以等價于．

由（1）知在遞減，所以

于是函數(shù)的值域為．