Question

【題目】已知常數(shù)，向量， ，經(jīng)過點(diǎn)，以為方向向量的直線與經(jīng)過點(diǎn)，以為方向向量的直線交于點(diǎn)，其中．

（）求點(diǎn)的軌跡方程，并指出軌跡．

（）若點(diǎn)，當(dāng)時， 為軌跡上任意一點(diǎn)，求的最小值．

Answer 1

【答案】（），軌跡見解析（）

【解析】試題分析：

（1）由題意求得直線的方程，消去參數(shù)可得點(diǎn)的軌跡方程為，通過對的討論可得軌跡可能為圓、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓或焦點(diǎn)在y軸上的橢圓。（2）當(dāng)時，軌跡的方程為，設(shè)點(diǎn)

,根據(jù)兩點(diǎn)間的距離可得，故當(dāng)時， 取得最小值。

試題解析：

（）由題意得，

∴直線的方程為： ①，

又，

∴直線的方程為： ②，

由①，②消去參數(shù)得，

整理得，

故點(diǎn)的軌跡方程為．

當(dāng)時，軌跡是以為圓心，半徑為的圓；

當(dāng)時，軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓；

當(dāng)時，軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓．

（）當(dāng)時，軌跡的方程為，

∵為軌跡是任意一點(diǎn)，

∴設(shè)點(diǎn)，

則

∵，

∴當(dāng)時， 取得最小值．