Question

【題目】已知橢圓（是大于的常數(shù)）的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動點(diǎn)，直線、與直線分別交于、兩點(diǎn)（設(shè)直線的斜率為正數(shù)）.

（Ⅰ）設(shè)直線、的斜率分別為， ，求證為定值.

（Ⅱ）求線段的長度的最小值.

（Ⅲ）判斷“”是“存在點(diǎn)，使得是等邊三角形”的什么條件？（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ) ；(Ⅲ)既不充分也不必要條件．

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意可得直線的斜率，直線的斜率，據(jù)此計(jì)算則有為定值．

(Ⅱ)結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)求得MN的長度表達(dá)式，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得線段長度的最小值為．

(Ⅲ)結(jié)合圓錐曲線的性質(zhì)可知“”是“存在點(diǎn)，使得是等邊三角形”的既不充分也不必要條件．

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)，則，即，

∴直線的斜率，直線的斜率，

∴，

故為定值．

（Ⅱ）直線方程為，∴點(diǎn)坐標(biāo)，

直線方程為，∴點(diǎn)坐標(biāo)，

∴，

∴

．

故線段長度的最小值為．

（Ⅲ）“”是“存在點(diǎn)，使得是等邊三角形”的既不充分也不必要條件．