Question

【題目】已知數(shù)列{an}前n項和Sn滿足：2Sn+an=1
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)bn= ，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn ， 求證：Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2Sn+an=1，

∴當n≥2時，2Sn﹣1+an﹣1=1，

∴2an+an﹣an﹣1=0，化為 ．

當n=1時，2a1+a1=1，∴a1= ．

∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項與公比都為 ．

∴ ．

（2）證明：bn=

=

=

= ，

∴數(shù)列{bn}的前n項和為Tn= + +…+

= ．

∴Tn＜ ．

【解析】（1）利用遞推式可得： ．再利用等比數(shù)列的通項公式即可得出；（2）由（1）可得bn= = ，；利用“裂項求和”即可得出數(shù)列{bn}的前n項和為Tn ， 進而得到證明．
【考點精析】利用數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式．