Question

【題目】如圖甲所示， 是梯形的高， ， ， ，先將梯形沿折起如圖乙所示的四棱錐，使得，點是線段上一動點.

（1）證明： ；

（2）當時，求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) 角的正弦值為 .

【解析】試題分析：（1）由勾股定理可證，又，由直線與平面垂直的判定定理，

可證以平面,所以，進而證明平面

（2）因為，所以點到平面的距離等于點到平面的距離的一半

作 交于點，連接、，可求出，作 交于，

求得，而

，而，可知平面

再由點到平面距離為， 點到平面的距離為，

而，所以與平面所成角的正弦值為.

試題解析：（1）因為是梯形的高， ，

所以

因為， ，

可得，

如圖乙所示， ， ， ，

所以有，所以

而， ，

所以平面,所以

又，所以、、兩兩垂直．

所以平面

（2）因為，

所以點到平面的距離等于點到平面的距離的一半

作交于點，連接、，

則，

作交于，

則，而

，

而，由， 平面

可知平面

再由點到平面距離為，

點到平面的距離為，

而

所以與平面所成角的正弦值為.