Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；

（2）若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的圖象恒在直線下方，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）， ．（2）

【解析】試題分析: （1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)判斷出其大于零得到函數(shù)在給定區(qū)間上為增函數(shù),所以為最小值, 為最大值;（2）令,則的定義域?yàn)?/span>,即在內(nèi)恒成立,對(duì)函數(shù)求導(dǎo),按照極值點(diǎn)是否落在區(qū)間內(nèi)分類(lèi)討論函數(shù)的單調(diào)性,得出函數(shù)的極值,利用的最大值小于零得出參數(shù)范圍.

試題解析:（1）當(dāng)時(shí)， ， ，

對(duì)于，有，∴在區(qū)間上為增函數(shù)，

∴， ．

（2）令，則的定義域?yàn)?/span>．

在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在直線下方等價(jià)于在區(qū)間上恒成立．

∵，

①若，令，得極值點(diǎn)， ．

當(dāng)，即時(shí)，在上有．

此時(shí)， 在區(qū)間上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有，不合題意；

當(dāng)，即時(shí)，同理可知， 在區(qū)間上，有，也不合題意；

②若，則有，此時(shí)在區(qū)間上恒有．

從而在區(qū)間上是減函數(shù)．

要使在此區(qū)間上恒成立，只需滿足．

由此求得的范圍是．

綜合①②可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒在直線下方．