【題目】設(shè)橢圓
：
的左、右焦點分別為
，
，下頂點為
，橢圓的離心率是
，
的面積是
.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）直線
與橢圓交于
，
兩點（異于點），若直線
與直線
的斜率之和為1，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo).
【答案】（1）
； （2）證明見解析，
.
【解析】
（1）根據(jù)離心率和
的面積是
得到方程組，計算得到答案.
（2）先排除斜率為0時的情況，設(shè)
，
，聯(lián)立方程組利用韋達(dá)定理得到
，
，根據(jù)
化簡得到
，代入直線方程得到答案.
（1）由題意可得
，解得
，
，則橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
（2）當(dāng)直線
的斜率為0時，直線
與直線
關(guān)于
軸對稱，則直線與直線的斜率之和為零，與題設(shè)條件矛盾，故直線的斜率不為0.
設(shè)，，直線的方程為
聯(lián)立
，整理得
則，.
因為直線與直線的斜率之和為1，所以，
所以
，
將，代入上式，整理得
.
所以
，即，
則直線的方程為
.
故直線恒過定點.
A加金題 系列答案
全優(yōu)測試卷系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱臺ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，上、下底面的面積之比為1：4，側(cè)面A1ABB1⊥底面ABC，并且A1A=A1B1，∠AA1B=90°．
（1）平面A1C1B∩平面ABC=l，證明：A1C1∥l；
（2）求四棱錐B-A1ACC1的體積．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
在左、右焦點分別為
，
，上頂點為點
，若
是面積為
的等邊三角形.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知
，
是橢圓上的兩點，且
，求使
的面積最大時直線
的方程（
為坐標(biāo)原點）.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】我國2019年新年賀歲大片《流浪地球》自上映以來引發(fā)了社會的廣泛關(guān)注，受到了觀眾的普遍好評.假設(shè)男性觀眾認(rèn)為《流浪地球》好看的概率為
，女性觀眾認(rèn)為《流浪地球》好看的概率為
.某機(jī)構(gòu)就《流浪地球》是否好看的問題隨機(jī)采訪了4名觀眾（其中2男2女）.
（1）求這4名觀眾中女性認(rèn)為好看的人數(shù)比男性認(rèn)為好看的人數(shù)多的概率；
（2）設(shè)
表示這4名觀眾中認(rèn)為《流浪地球》好看的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，已知橢圓
的左焦點為
，過點F做x軸的垂線交橢圓于A，B兩點，且
．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(2)若M，N為橢圓上異于點A的兩點，且直線
的傾斜角互補(bǔ)，問直線MN的斜率是否為定值?若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】（2017高考新課標(biāo)Ⅲ，理19）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在四棱錐
中，底面
是矩形，
平面，AB 1，AP AD 2.
（1）求直線
與平面
所成角的正弦值；
（2）若點M，N分別在AB，PC上，且
平面，試確定點M，N的位置．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在四棱錐
中，底面ABCD是邊長為6的菱形，且
，
平面ABCD，
，F是棱PA上的一個動點，E為PD的中點．
Ⅰ
求證：
．
Ⅱ若
．
求PC與平面BDF所成角的正弦值；
側(cè)面PAD內(nèi)是否存在過點E的一條直線，使得該直線上任一點M與C的連線，都滿足
平面BDF，若存在，求出此直線被直線PA、PD所截線段的長度，若不存在，請明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知圓C：x2+y2+2x﹣2y+1＝0和拋物線E：y2＝2px（p＞0），圓C與拋物線E的準(zhǔn)線交于M、N兩點，△MNF的面積為p，其中F是E的焦點．
（1）求拋物線E的方程；
（2）不過原點O的動直線l交該拋物線于A，B兩點，且滿足OA⊥OB，設(shè)點Q為圓C上任意一動點，求當(dāng)動點Q到直線l的距離最大時直線l的方程．
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