Question

第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽的主體是由一連串直角三角形演變而成，其中OA=AB=BC=CD=DE=EF=FG=GH=HI=1，若將圖2的直角三角形繼續(xù)作下去，并記OA、OB、…、OI、…的長(zhǎng)度所構(gòu)成的數(shù)列為{a_n}．

（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列b_n=

1

an+1+an

的前n項(xiàng)和S_n，S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,歸納推理

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)條件確定a_n滿足的關(guān)系式，構(gòu)造等差數(shù)列即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出b_n的通項(xiàng)公式，利用分母有理化，進(jìn)行求和．

解答： 解：（1）∵OA=AB=BC=CD=DE=EF=FG=GH=HI=1，
∴a22=a12+1，a32=a22+1，…

a

2 n+1

=

a

2 n

+1，
即數(shù)列{

a

2 n

}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則

a

2 n

=1+（n-1）=n，
即a_n=

n

．
（2）b_n=

1

an+1+an

=

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

，
則S_n=（

2

-1）+（

3

-

2

）+…+

n+1

-

n

=

n+1

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的判定和應(yīng)用，以及利用分母有理化進(jìn)行數(shù)列求和，考查學(xué)生的計(jì)算能力．