Question

【題目】定義符號(hào)函數(shù)，已知，.

（1）求關(guān)于的表達(dá)式，并求的最小值.

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，求的取值范圍.

（3）已知存在，使得對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；最小值為（2）（3）

【解析】

（1）根據(jù)已知求出，分析其單調(diào)性可得函數(shù)的最小值；

（2）當(dāng)時(shí)，，由得：，即，令，，在同一坐標(biāo)系中分別作出兩個(gè)函數(shù)在上的圖象，數(shù)形結(jié)合可得答案；

（3）若存在，使得對(duì)任意的恒成立，則對(duì)任意的恒成立，分類討論可得答案.

（1）函數(shù)，.

，，

，

由在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

故當(dāng)時(shí)，的最小值為；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，

由得：，即，

令，，

在同一坐標(biāo)系中分別作出兩個(gè)函數(shù)在上的圖象，如下圖所示：

,

當(dāng)射線過點(diǎn)時(shí)，，

當(dāng)射線與相切時(shí)，，

當(dāng)射線過點(diǎn)時(shí)，，

由圖可得：當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

即函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；

（3）時(shí)，，

由得：，

，且對(duì)任意的恒成立，

即對(duì)任意的恒成立，

在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最大值，

，的最小值為：，

①，解得：；

②，解得：；

③解得：，

綜上可得：.