Question

【題目】已知橢圓與軸負(fù)半軸交于，離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）若過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)且與直線垂直的直線與直線相交于點(diǎn)，求的取值范圍及取得最小值時(shí)直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的取值范圍是，最小值為，此時(shí)直線的方程為.

【解析】

（1）根據(jù)已知條件得出，再由離心率可得出的值，并求出的值，由此可得出所求橢圓的方程；

（2）由題意可知，直線與軸不重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式求出，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得，由此可得出的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出的取值范圍，以及取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的直線方程.

（1）由題有，，，.

因此，橢圓方程為；

（2）當(dāng)直線與軸重合時(shí)，則直線的垂線與直線平行，不合乎題意.

設(shè)，將其與曲線的方程聯(lián)立，得.

即.

設(shè)、，則，，

，

將直線與聯(lián)立，得，

.

.

設(shè)，構(gòu)造.

在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.

所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，

所以的取值范圍是，

當(dāng)取得最小值時(shí)，, 此時(shí)直線的方程為 .