Question

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到兩點(diǎn)，的距離之和為4，點(diǎn)在軸上的射影是C，.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線交點(diǎn)的軌跡于點(diǎn)，交點(diǎn)的軌跡于點(diǎn)，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）1

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的定義和題設(shè)條件，求得點(diǎn)的軌跡方程是，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入即可求解.

（2）若軸，求得；若直線不與軸垂直，設(shè)直線的方程為，根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，求得，再聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求得的表達(dá)式，代入化簡(jiǎn)，即可求解.

（1）設(shè)，

因?yàn)辄c(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和為4，即

可得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，

所以，即，且，則，

所以點(diǎn)的軌跡方程是.

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，因所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得，

化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡方程為.

（2）若軸，則，.

若直線不與軸垂直，設(shè)直線的方程為，即，

則坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離，

.

設(shè).將代入，并化簡(jiǎn)得，

.

，.

，

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立.

綜上所述，最大值為1.