Question

中心為（0，0），一個焦點(diǎn)為F（0，5

2

）的橢圓，截直線y=3x-2所得弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

1

2

，則該橢圓方程是（　　）

• A．

  2x2

  75

  +

  2y2

  25

  =1
• B．

  x2

  75

  +

  y2

  25

  =1
• C．

  x2

  25

  +

  y2

  75

  =1
• D．

  2x2

  25

  +

  2y2

  75

  =1

Answer 1

分析：根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得出a²-b²=50，將直線的方程與橢圓的方程組成方程組，消去y得到關(guān)于x的方程，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的表達(dá)式，最后根據(jù)聯(lián)立的方程求出其a，b即可求橢圓的方程．

解答：解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由F（0，5

2

），
∴c=5

2

，
∴a²-b²=50．
把直線方程y=3x-2代入橢圓方程整理得（a²+9b²）x²-12b²x+b²（4-a²）=0．
設(shè)弦的兩個端點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=

12b2

a2+9b2

，
又AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

1

2

，
∴

6b2

a2+9b2

=

1

2

，
∴a²=3b²，與方程a²-b²=50聯(lián)立可解出a²=75，b²=25．
故橢圓的方程

x2

25

+

y2

75

=1．
故選C．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的綜合問題，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．