Question

如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)0，離心率e=

2

2

，一條準(zhǔn)線的方程是x=2

2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足：

OP

=

OM

+2

ON

，其中M、N是橢圓上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

，
問(wèn)：是否存在定點(diǎn)F，使得|PF|與點(diǎn)P到直線l：x=2

10

的距離之比為定值；若存在，求F的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由題意得

a2-b2

a

=

2

2

，

a2

c

=

a2

a2-b2

=2

2

，解出a、b 的值，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），M（x₁，y₁ ）、N（x₂，y₂ ）． 由向量間的關(guān)系得到 x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，據(jù)
M、N是橢圓上的點(diǎn)可得 x²+2y²=20+4（x₁x₂+2y₁y₂ ）．再根據(jù)直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

，得到點(diǎn)P是橢圓
x²+2y²=20 上的點(diǎn)，根據(jù)橢圓的第二定義，存在點(diǎn)F（

10

，0），滿(mǎn)足條件．

解答：解：（Ⅰ） 由題意得

a2-b2

a

=

2

2

，

a2

c

=

a2

a2-b2

=2

2

，∴a=2，b=

2

，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），M（x₁，y₁ ）、N（x₂，y₂ ）．∵動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足：

OP

=

OM

+2

ON

，
∴（x，y）=（x₁+2x₂，y₁+2y₂  ），∴x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，
∵M(jìn)、N是橢圓上的點(diǎn)，∴x₁²+2y₁²-4=0，x₂²+2y₂²-4=0．
∴x²+2y²=（x₁+2x₂）²+2 （y₁+2y₂）²=（x₁²+2y₁² ）+4（x₂²+2y₂² ）+4（x₁x₂+2y₁y₂ ）
=4+4×4+4（x₁x₂+2y₁y₂ ）=20+4（x₁x₂+2y₁y₂ ）．
∵直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

，∴

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

2

，∴x²+2y²=20，
故點(diǎn)P是橢圓 

x2

20

+

y2

10

=1 上的點(diǎn)，焦點(diǎn)F（

10

，0），準(zhǔn)線l：x=2

10

，離心率為

2

2

，
根據(jù)橢圓的第二定義，|PF|與點(diǎn)P到直線l：x=2

10

的距離之比為定值

2

2

，
故存在點(diǎn)F（

10

，0），滿(mǎn)足|PF|與點(diǎn)P到直線l：x=2

10

的距離之比為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，以及橢圓的第二定義，屬于中檔題．