Question

給出下列五個命題，其中正確命題的序號為

⑤

．
①函數(shù)y=|sin（2x+

π

3

）-

1

3

|的最小正周期是

π

2

；
②函數(shù)y=sin（x-

3π

2

）在區(qū)間[π，

3π

2

]上單調(diào)遞減；
③直線x=

5π

4

是函數(shù)y=sin（2x+

5π

2

）的圖象的一條對稱軸；
④函數(shù)y=sinx+

4

sinx

，x∈（0，π）的最小值是4；
⑤函數(shù)y=tan

x

2

-cscx的一個對稱中心為點（π，0）．

Answer 1

分析：①檢驗f（x+

π

2

）=|sin（2x+π+

π

3

）-

1

3

|=|sin（2x+

1

3

π）+

1

3

|≠f（x）可判斷①
②y=sin（x-

3π

2

）=cosx在區(qū)在區(qū)間[π，

3

2

π]上單調(diào)遞增，可判斷②
③根據(jù)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)在對稱軸處取得函數(shù)的最值，把x=

5π

4

代入到函數(shù)y=sin（2x+

5π

2

）=cos2x進行檢驗，可判斷③
④由x∈（0，π）可得0＜sinx≤1，結(jié)合函數(shù)y=sinx+

4

sinx

 的單調(diào)性可判斷④
⑤、先設(shè)函數(shù)y=tan

x

2

-cscx上任意一點M（x，y）關(guān)于點（π，0）對稱的點N（x′，y′），

x=2π-x′ y=-y′

，代入到y(tǒng)=tan

x

2

-cscx中可求對稱函數(shù)-y′=tan(π-

1

2

x′)-csc（2π-x′），可判斷⑤

解答：解：∵f（x+

π

2

）=|sin（2x+π+

π

3

）-

1

3

|=|sin（2x+

1

3

π）+

1

3

|≠f（x），而f（x+π）=|sin（2x+2π+

π

3

）-

1

3

|=|sin（2x+

π

3

）-

1

3

|=f（x），則函數(shù)的最小正周期是π，故①錯誤
②y=sin（x-

3π

2

）=cosx在區(qū)在區(qū)間[π，

3

2

π]上單調(diào)遞增，故②錯誤
③x=

5π

4

時，函數(shù)y=sin（2x+

5π

2

）=cos2x的值為0，不是最值點，不符合對稱軸的性質(zhì)，故③錯誤
④∵x∈（0，π）
∴0＜sinx≤1
y=sinx+

4

sinx

在sinx=1時取得最小值5
∴y的最小值不是4，故④錯誤
⑤設(shè)函數(shù)y=tan

x

2

-cscx上任意一點M（x，y）關(guān)于點（π，0）對稱的點N（x′，y′）
則

x+x′=2π y+y′=0

，即

x=2π-x′ y=-y′

代入到y(tǒng)=tan

x

2

-cscx中可得-y′=tan(π-

1

2

x′)-csc（2π-x′）
∴y′=tan

1

2

x′-cscx′，即函數(shù)y=tan

x

2

-cscx的圖象關(guān)于點（π，0）對稱，故⑤正確
故答案為：⑤

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的周期的判斷，三角函數(shù)的誘導公式及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性在函數(shù)的最值求解中的應(yīng)用及三角函數(shù)的對稱性的應(yīng)用，屬于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用