Question

【題目】已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（1）求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；

（2）關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的值；

（3）關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，求證： ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）； （3）見(jiàn)解析．

【解析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，

∴，

又，

∴曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為，即；

（2）記，其中，

由題意知在上恒成立，下求函數(shù)的最小值，

對(duì)求導(dǎo)得，

令，得，

當(dāng)變化時(shí)， 變化情況列表如下：

	-	0	+
		極小值

∴，

∴，

記，則，

令，得．

當(dāng)變化時(shí)， 變化情況列表如下：

		1
	+	0	-
		極大值

∴，

故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

又，從而得到；

（3）先證，

記，則，

令，得，

當(dāng)變化時(shí)， 變化情況列表如下：

	-	0	+
		極小值

∴，

恒成立，即，

記直線(xiàn)分別與交于，

不妨設(shè)，則，

從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

由（2）知， ，則，

從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

故，

因等號(hào)成立的條件不能同時(shí)滿(mǎn)足，故．