Question

【題目】已知橢圓C: ()的右焦點為F(2,0),且過點P(2, ). 直線過點F且交橢圓C于A、B兩點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若線段AB的垂直平分線與x軸的交點為M(),求直線的方程。

Answer 1

【答案】（1）；（2） 或

【解析】試題分析：（1）設(shè)橢圓C的方程為,則 ，解出即可得方程；

（2）當(dāng)斜率不存在時,不符合題意，當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k(x－2), AB的中點為N（x0，y0），聯(lián)立直線方程與橢圓方程消掉y得x的二次方程，由韋達定理及中點坐標(biāo)公式可用k表示出AB中點N的坐標(biāo)，由題意得kMNk=-1，即，把x0，y0用k表示出來即得關(guān)于k的方程，解出方程然后運用點斜式即可求得l的方程.

試題分析：

（1）設(shè)橢圓C的方程為,則 ,解得,,所以橢圓C的方程為,

（2）當(dāng)斜率不存在時,不符合題意，當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k(x－2),

A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中點為N(x0,y0),

由得,

因為, 所以,

所以,, 因為線段AB的垂直平分線過點M(),

所以,即,所以, 解得, ,

所以直線l的方程為 或