Question

【題目】已知函數(shù)，過點(diǎn)作與軸平行的直線交函數(shù)的圖像于點(diǎn)，過點(diǎn)作圖像的切線交軸于點(diǎn)，則面積的最小值為____．

Answer 1

【答案】

【解析】

求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令x＝a，求得P的坐標(biāo)，可得切線的斜率，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得切線的方程，令y＝0，可得B的坐標(biāo)，再由三角形的面積公式可得△ABP面積S，求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，即可得到所求值．

函數(shù)f（x）＝的導(dǎo)數(shù)為f′（x），

由題意可令x＝a，解得y，

可得P（a，），

即有切線的斜率為k，

切線的方程為y﹣（x），

令y＝0，可得x＝a﹣1，

即B（ a﹣1，0），

在直角三角形PAB中，|AB|＝1，|AP|，

則△ABP面積為S（a）|AB||AP|，a＞0，

導(dǎo)數(shù)S′（a），

當(dāng)a＞1時，S′＞0，S（a）遞增；當(dāng)0＜a＜1時，S′＜0，S（a）遞減．

即有a＝1處S取得極小值，且為最小值e．

故答案為：e．