Question

如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，O是AC與BD的交點(diǎn)，SO⊥平面ABCD，E是側(cè)棱SC的中點(diǎn)，異面直線SA和BC所成角的大小是60°．
（Ⅰ）求證：直線SA∥平面BDE；
（Ⅱ）求直線BD與平面SBC所成角的正弦值．

Answer 1

（I）如圖，連接EO，
∵四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，O是AC與BD的交點(diǎn)，
∴O是AC的中點(diǎn)，
∵E是側(cè)棱SC的中點(diǎn)，
∴EO是△ASC的中位線，
∴EO∥SA，
∵SA?面ASC，EO不包含于面ASC，
∴直線SA∥平面BDE．
（II）過點(diǎn)O作CB的平行線作x軸，過O作AB的平行線作y軸，以O(shè)S為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
∵四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，
O是AC與BD的交點(diǎn)，SO⊥平面ABCD，E是側(cè)棱SC的中點(diǎn)，
異面直線SA和BC所成角的大小是60°，
∴SA=4，SO=2

2

，
∴B（2，2，0），C（-2，2，0），S（0，0，2

2

），D（-2，-2，0），
∴

SB

=(2，2，-2

2

)，

SC

=(-2，2，-2

2

)，

BD

=(-4，-4，0)，
設(shè)面SBC的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

SB

•

n

=0，

SC

•

n

=0，
∴

2x+2y-2 2 z=0 -2x+2y-2 2 z=0

，
∴

n

=(0，

2

，1)，
設(shè)直線BD與平面SBC所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

BD

，

n

＞|=|

-4 2

4 2 • 3

|=

3

3

．