Question

【題目】已知幾何體A﹣BCED的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．

（1）求此幾何體的體積V的大小；
（2）求異面直線DE與AB所成角的余弦值；
（3）求二面角A﹣ED﹣B的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ACE，∠ACB都是直角，∴AC⊥BC，AC⊥CE，CB∩CE=C，CB平面BCED，CE平面BCED；

∴AC⊥平面BCED．

∴V= ．

（2）解：取CE中點(diǎn)F，連接BF，則BF∥DE，則∠ABF即異面直線DE與AB所成的角，連接AF．

在△ABF中，AB=4 ，BF= ，AF= ；

∴由余弦定理得：cos∠ABF= ；

異面直線DE與AB所成角的余弦值是 ．

（3）解：過(guò)C作CG⊥DE，交DE于G，連接AG，∵AC⊥平面BCED，ED平面BCED，∴AC⊥ED；

∴ED⊥平面ACG，AG平面ACG，∴ED⊥AG，∴∠AGC是二面角A﹣ED﹣B的平面角；

在Rt△ACG中，AC=4，CG= ，∠ACG=90°；

∴tan∠AGC= ，sin ．

【解析】（1）通過(guò)已知條件可知，AC⊥底面BCED，再求出梯形BCED的面積，根據(jù)三棱錐的體積公式即可求出體積．（2）先找到異面直線所成的角，可過(guò)B作DE的平行線，則角ABF便是異面直線所成的角，根據(jù)條件求出即可．（3）先找出二面角的平面角，過(guò)C作CG⊥ED，并交ED于G，連接AG，則∠AGC即是所找的二面角的平面角，根據(jù)條件求出即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系才能正確解答此題．