Question

已知、分別是橢圓的左、右焦點，右焦點到上頂點的距離為2，若.
（Ⅰ）求此橢圓的方程；
（Ⅱ）點是橢圓的右頂點，直線與橢圓交于、兩點（在第一象限內），又、是此橢圓上兩點，并且滿足，求證：向量與共線.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析．

試題分析：（Ⅰ）求此橢圓的方程，由題意到上頂點的距離為2，即，，再由，即可求出，從而得橢圓的方程；（Ⅱ）求證：向量與共線，即證，由于點是橢圓的右頂點，可得，直線與橢圓交于、兩點（在第一象限內），可由，解得，得，只需求出直線的斜率，由題意，而與的平分線平行，可得的平分線垂直于軸，設的斜率為，則的斜率；因此和的方程分別為：、；其中；分別代入橢圓方程，得的表達式，從而可得直線的斜率，從而可證．
試題解析：（Ⅰ）由題知：
（Ⅱ）因為：，從而與的平分線平行，
所以的平分線垂直于軸；
由不妨設的斜率為，則的斜率；因此和的方程分別為：、；其中； 由得；，因為在橢圓上；所以是方程的一個根；
從而；    同理：；得,
從而直線的斜率；又、；所以；所以所以向量與共線.