Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當時，試求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若在內(nèi)有極值，試求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1）；（2）a∈（e，+∞）

【解析】

（1）首先求得定義域為，求導后，通過證明恒成立可知導函數(shù)符號由的符號決定，從而可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）將在內(nèi)有極值轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有零點，即有解，令，，利用導數(shù)可求得，從而可驗證出時在內(nèi)有零點，從而得到結(jié)果.

（1）由題意知，定義域為：

當時，

則：

令，則

當時，；當時，

在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增

即：對任意的，恒成立

當時，；當時，

的單調(diào)遞增區(qū)間為：；單調(diào)遞減區(qū)間為：

（2）若在內(nèi)有極值，則在內(nèi)有零點

由，得：，則

設(shè)，，則恒成立

在上單調(diào)遞減

當時，在內(nèi)有解

設(shè)，則

當時， 在上單調(diào)遞減

又， 在上有唯一解

當時，；當時，

當時，在內(nèi)有唯一極值

當時，在上單調(diào)遞增，不存在極值

綜上所述：