Question

【題目】設(shè)A是圓O：x2+y2＝16上的任意一點(diǎn)，l是過點(diǎn)A且與x軸垂直的直線，B是直線l與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線l上，且滿足4|BQ|＝3|BA|．當(dāng)點(diǎn)A在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)Q的軌跡為曲線C．

（1）求曲線C的方程；

（2）已知直線y＝kx﹣2（k≠0）與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為M′，設(shè)P（0，﹣2），證明：直線M′N過定點(diǎn)，并求△PM′N面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）1（2）證明見解析,△PM′N面積的最大值為

【解析】

（1）點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，引起點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，我們可以由，得到點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式，并由點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程得到點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程；

（2）設(shè)，，，，則，，聯(lián)立，得，利用直線的斜率，求直線的方程，即可直線過定點(diǎn)，并求出面積的最大值．

解：（1）設(shè)，，，，在直線上，

，．①

點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，．②

將①式代入②式即得曲線的方程為．

證明：（2）設(shè)，，，，則，，

聯(lián)立，得，

，．

直線的斜率，

直線的方程為．

令，得，

直線過定點(diǎn)．

面積，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，

面積的最大值為．