Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=a（x﹣1）2﹣xe2﹣x ．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線與x軸平行，求a的值；
（Ⅱ）若 ，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】解：（I）因為f（x）=a（x﹣1）2﹣xe2﹣x，

所以f'（x）=2a（x﹣1）﹣（e2﹣x﹣xe2﹣x）．因為f（x）在點（2，f（2））處的切線與x軸平行，所以f′（2）=0，1+2a=0，a=﹣ ．…
（II）因為f′（x）=（x﹣1）（e2﹣x+2a），

⑴所以f′（x）＞0，解得：x＞1，f′（x）＜0，解得：x＜1

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，1）；

⑵當(dāng)﹣ ＜a＜0時，

令f′（x）=0，得x1=1，x2=2﹣ln（﹣2a），且x2﹣x1=1﹣ln（﹣2a）＞0．

當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，1）	1	（1，2﹣ln（﹣2a））	2﹣ln（﹣2a）	（2﹣ln（﹣2a），+∞）
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）		極小值		極大值

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，2﹣ln（﹣2a）），

函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，1），（2﹣ln（﹣2a），+∞）；

綜上所述：

當(dāng)a≥0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，1）；

當(dāng)﹣ ＜a＜0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，2﹣ln（﹣2a）），

函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：（﹣∞，1），（2﹣ln（﹣2a），+∞）．…

【解析】1、( 1 )、求導(dǎo)可得因為f（x）在點（2，f（2））處的切線與x軸平行，所以f′（2）=0，1+2a=0，a=﹣ .
（2）、由第I問可得f′（x）＞0，解得：x＞1，f′（x）＜0，解得：x＜1所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，1）；
2、令f′（x）=0，得x1=1，x2=2﹣ln（﹣2a），且x2﹣x1=1﹣ln（﹣2a）＞0．列圖表可得當(dāng)a≥0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，1）；當(dāng)﹣ ＜a＜0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，2﹣ln（﹣2a）），

函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：（﹣∞，1），（2﹣ln（﹣2a），+∞）。