Question

【題目】函數(shù)f（x）=|x+3|+|x﹣1|，其最小值為t．
（1）求t的值；
（2）若正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=4，求證 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：解法1： ，由函數(shù)的圖象知最小值t=4

解法2：由絕對(duì)值三角不等式，得f（x）=|x+3|+|x﹣1|≥|（x+3）﹣（x﹣1）|=4，即t=4．

（2）證明：（解法1）基本不等式】a+b=4，所以 ，

當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)取等號(hào)．所以 ．

（解法2）柯西不等式】因?yàn)閍+b=4，所以 ，∴ 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)取等號(hào)．所以 ．

【解析】本題分兩個(gè)小題，（1）考查絕對(duì)值不等式，方法一運(yùn)用不等式的定義進(jìn)行化簡(jiǎn)，使用數(shù)形結(jié)合思想求得最小值；方法二使用絕對(duì)值三角不等式，更加簡(jiǎn)單明了。（2）考查不等式的證明，方法一給原式左邊乘以，展開(kāi)后使用基本不等式求出最小值，從而證明。方法二使用柯西不等式，直接簡(jiǎn)單。注意等號(hào)成立的條件。