【題目】設(shè)
外接圓上三段弧
的中點依次為
,其關(guān)于
的對稱點依次為
.若頂點與對應(yīng)旁切圓切點的連線交于一點
(界心),
為的垂心，證明：在以
為直徑的圓上.
【答案】見解析
【解析】
記
的三邊長為
,
,
為的內(nèi)心.
先證明一個引理.
引理 頂點與界心連線平行且等于2倍內(nèi)心與其對應(yīng)邊中點的連線.
證明:如圖,設(shè)為的內(nèi)心,
為
的中點,
為切點,
為對應(yīng)角平分線的交點,
為旁切圓的切點,
為界心,
為
與內(nèi)切圓的交點.
對
與截線
應(yīng)用梅涅勞斯定理得
.
將
,
,
,代入上式化簡得
因為為的中點,為切點,
為旁切圓的切點,所以,
.
由位似變換,知
為
的中點.
故
.
回到原題.如圖,延長
與
的延長線交于點
.
由引理,知
，且
所以,為
的中點.
又點
與
關(guān)于對稱,于是.由對角線互柑平分的性質(zhì),知四邊形
為平行四邊形.
因此, 
.
延長
與外接圓交于點
,聯(lián)結(jié)
.
因為
為垂心,關(guān)于的對稱點
在外接圓上,所以,
.
于是,
.則
.
從而,四邊形
為平行四邊形.
又
為外接圓的直徑,故
.易知, 
.
所以, 
,
同理, 
,
.故本題得證.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某中學(xué)將要舉行校園歌手大賽，現(xiàn)有4男3女參加，需要安排他們的出場順序．（結(jié)果用數(shù)字作答）
（1）如果3個女生都不相鄰，那么有多少種不同的出場順序？
（2）如果3位女生都相鄰，且男生甲不在第一個出場，那么有多少種不同的出場順序？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】2018以來，依托用戶碎片化時間的娛樂需求、分享需求以及視頻態(tài)的信息負(fù)載力，短視頻快速崛起；與此同時，移動閱讀方興未艾，從側(cè)面反應(yīng)了人們對精神富足的一種追求，在習(xí)慣了大眾娛樂所帶來的短暫愉悅后，部分用戶依舊對有著傳統(tǒng)文學(xué)底蘊的嚴(yán)肅閱讀青睞有加.某讀書APP抽樣調(diào)查了非一線城市
和一線城市
各100名用戶的日使用時長（單位：分鐘），繪制成頻率分布直方圖如下，其中日使用時長不低于60分鐘的用戶記為“活躍用戶”.
（1）請?zhí)顚懸韵?/span>
列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為用戶活躍與否與所在城市有關(guān)？
活躍用戶 | 不活躍用戶 | 合計 | |
城市 | |||
城市 | |||
合計 |
臨界值表：
| 0.050 | 0.010 |
| 3.841 | 6.635 |
參考公式：
.
（2）以頻率估計概率，從城市中任選2名用戶，從城市中任選1名用戶，設(shè)這3名用戶中活躍用戶的人數(shù)為
，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐
中，
，
．
，
分別是
，
的中點．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求證：平面
平面
；
（Ⅲ）在圖中作出點
在底面
的正投影，并說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】經(jīng)觀測，某昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)
與溫度
有關(guān)，現(xiàn)將收集到的溫度
和產(chǎn)卵數(shù)
的10組觀測數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖的散點圖及一些統(tǒng)計量表．
|
|
|
|
|
|
275 | 731.1 | 21.7 | 150 | 2368.36 | 30 |
表中
，
（1）根據(jù)散點圖判斷，
，
與
哪一個適宜作為與之間的回歸方程模型？（給出判斷即可，不必說明理由）
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)．
①試求關(guān)于回歸方程；
②已知用人工培養(yǎng)該昆蟲的成本
與溫度和產(chǎn)卵數(shù)的關(guān)系為
，當(dāng)溫度（取整數(shù)）為何值時，培養(yǎng)成本的預(yù)報值最��？
附：對于一組數(shù)據(jù)
，
，
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
，
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知
,定點
,定直線
和
上的動點
滿足：
在直線的同側(cè),點
在直線的另一側(cè).以為焦點作與直線相切的橢圓
,且當(dāng)在上運動時,橢圓的長軸長為定值.
(1)求直線的方程；
(2)對于第一象限內(nèi)任意2012個在橢圓上的點,是否一定可以將它們分成兩組,使得其中一組點的橫坐標(biāo)之和不大于2013,另一組點的縱坐標(biāo)之和不大于2013?請證明你的結(jié)論.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】對于數(shù)列
，若存在正數(shù)p，使得
對任意
都成立，則稱數(shù)列為“擬等比數(shù)列”．
已知
，
且
，若數(shù)列和
滿足：
，
且
，
．
若
，求
的取值范圍；
求證：數(shù)列
是“擬等比數(shù)列”；
已知等差數(shù)列
的首項為
，公差為d，前n項和為
，若
，
，
，且是“擬等比數(shù)列”，求p的取值范圍
請用，d表示
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】11個興趣班，若干學(xué)生參與（可重復(fù)參與），每個興趣班人數(shù)相同（招滿，人數(shù)未知）.已知任意九個興趣班包括了全體學(xué)生，而任意八個興趣班沒有包括全體學(xué)生求學(xué)生總?cè)藬?shù)的最小值.
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