Question

【題目】如圖，橢圓 的左焦點(diǎn)為F1 ， 右焦點(diǎn)為F2 ， 過(guò)F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，△ABF2的周長(zhǎng)為8，且△AF1F2面積最大時(shí)，△AF1F2為正三角形．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相交于點(diǎn)Q．試探究：①以PQ為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系？ ②在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABF2的周長(zhǎng)為8，∴4a=8，∴a=2．

又當(dāng)△AF1F2面積最大時(shí)為正三角形，∴A（0，b），a=2c，∴c=1，b2=3，

∴橢圓E的方程為

（2）解：①由 ，得方程（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0

由直線與橢圓相切得m≠0，△=0，4k2﹣m2+3=0．

求得 ，Q（4，4k+m），PQ中點(diǎn)到x軸距離 ．

所以圓與x軸相交．

②假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，由對(duì)稱性知點(diǎn)M在x軸上，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為M（x1，0）， ．

由 ，得 ．

∴ ，即x1=1．

所以定點(diǎn)為M（1，0）．

【解析】（1）利用橢圓的定義、等邊三角形的性質(zhì)即可得出；（2）①判斷圓心到x軸的距離與半徑的大小關(guān)系即可得出； ②假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，則由對(duì)稱性知點(diǎn)M在x軸上，再利用直徑所對(duì)的圓周角是直角即可求出．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需要了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能得出正確答案．