Question

【題目】如圖，已知AB為橢圓E：（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且傾斜角為135°的直線(xiàn)交橢圓E于C，D兩點(diǎn)，且D在x軸上的射影D'恰為橢圓E的長(zhǎng)半軸OB的中點(diǎn)．

（1）求橢圓E的離心率；

（2）若AB＝8，不過(guò)第四象限的直線(xiàn)l與橢圓E和以CD為直徑的圓均相切，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1) CD的方程為y = -x因?yàn)?/span>D在x軸上的射影恰恰為橢圓E的長(zhǎng)半軸OB的中點(diǎn)，所以，代入橢圓方程得到進(jìn)而得到離心率；（2）因?yàn)?/span>AB = 8，所以2a = 8，即a = 4.由（1）知，從而得到圓和橢圓的方程，直線(xiàn)l與以CD為直徑的圓相切，所以，即，聯(lián)立直線(xiàn)l和橢圓E的方程組，并消去y整理得：，因?yàn)橹本�(xiàn)l與橢圓E相切，所以，，化簡(jiǎn)得，解出參數(shù)值即可.

（1）因?yàn)橹本�(xiàn)CD過(guò)原點(diǎn)O且傾斜角為135°，

所以CD的方程為y = -x.

因?yàn)?/span>D在x軸上的射影恰恰為橢圓E的長(zhǎng)半軸OB的中點(diǎn)，

所以.

代入橢圓E：得，.

所以橢圓E的離心率.

（2）因?yàn)?/span>AB = 8，所以2a = 8，即a = 4.由（1）知，.

從而橢圓E：，以CD為直徑的圓：.

設(shè)直線(xiàn)l的方程為：.

因?yàn)橹本�(xiàn)l與以CD為直徑的圓相切，所以，即. ①

聯(lián)立直線(xiàn)l和橢圓E的方程組，并消去y整理得：.

因?yàn)橹本�(xiàn)l與橢圓E相切，所以，.

化簡(jiǎn)得，. ②

由①②得，，，所以直線(xiàn)l的方程為.