Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的取值；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）記.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時(shí), 減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為；（Ⅲ）．

【解析】

（1）先求出函數(shù)f（x）的定義域和導(dǎo)函數(shù)f′（x），再由兩直線垂直的條件可得f′（1）＝﹣3，求出a的值；

（2）求出f′（x），對(duì)a討論，由f′（x）＞0和f′（x）＜0進(jìn)行求解，即判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）由（1）和題意求出g（x）的解析式，求出g′（x），由g′（x）＞0和g′（x）＜0進(jìn)行求解，即判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再由條件和函數(shù)零點(diǎn)的幾何意義列出不等式組，求出b的范圍．

（Ⅰ）定義域，，，

∴．

（Ⅱ）

當(dāng)，，單減區(qū)間為

當(dāng)時(shí)

令，單增區(qū)間為；令，單減區(qū)間為

當(dāng)時(shí)，單減區(qū)間

∴當(dāng)時(shí), 減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為；

（Ⅲ）

令，，

令，；令，

∴是在上唯一的極小值點(diǎn)，也是唯一的最小值點(diǎn)

∴

∵在上有兩個(gè)零點(diǎn)

∴只須

∴．