Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)平面中，的兩個頂點(diǎn)為，平面內(nèi)兩點(diǎn)、同時(shí)滿足：①；②；③．

（1）求頂點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，直線與點(diǎn)的軌跡相交弦分別為，設(shè)弦的中點(diǎn)分別為．

①求四邊形的面積的最小值；

②試問：直線是否恒過一個定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請求出該定點(diǎn)，若不過定點(diǎn)，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)得，所以為的重心，由②知是的外心，設(shè)求得，，根據(jù)化簡得；（2）①由已知得，由此可設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，利用根與系數(shù)關(guān)系、弦長公式和點(diǎn)到直線距離公式求得面積的表達(dá)式，利用基本不等式求得最小值為；②根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，同理可求得，利用直線方程兩點(diǎn)式求得直線方程，并令求得，所以直線過定點(diǎn).

試題解析：

（1）∵，由①知，∴為的重心，設(shè)，則，由②知是的外心，∴在軸上由③知，由，得，化簡整理得：．

（2）解：恰為的右焦點(diǎn)，

①當(dāng)直線的斜率存且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，

由，

設(shè)則，

①根據(jù)焦半徑公式得，

又，

所以，同理，

則，

當(dāng)，即時(shí)取等號．

②根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，同理可求得，

則直線的斜率為，

∴直線的方程為，

整理化簡得，

令，解得，∴直線恒過定點(diǎn)，

②當(dāng)直線有一條直線斜率不存在時(shí)，另一條斜率一定為0，直線即為軸，過點(diǎn)，

綜上，的最小值的，直線恒過定點(diǎn)．