【題目】設(shè)函數(shù)
，
.
（1）若
恒成立，求
的取值范圍；
（2）①若
，試討論
的單調(diào)性；
②若
有兩個不同的零點，求的取值范圍，并說明理由.
【答案】（1）
；（2）①在
單調(diào)遞減；②
，理由見解析.
【解析】
（1）由
得出
，令
，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)
的最大值，進(jìn)而可得出實數(shù)
的取值范圍；
（2）①將
代入函數(shù)
的解析式，利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
②由參變量分離法得出
，構(gòu)造函數(shù)
，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)
的單調(diào)性與極值，進(jìn)而可求得實數(shù)的取值范圍.
（1）
，
，則，
令，則
，令
，得
.
當(dāng)
時，
，此時函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)
時，
，此時函數(shù)單調(diào)遞減.
，則，
因此，實數(shù)的取值范圍是
；
（2）①當(dāng)時，
，則
，
令
，則
，
當(dāng)
時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)
時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.
，
恒成立，即
恒成立，
因此，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
②由
，得
，得，
令，其中
，則
，
令
，
，
當(dāng)時，
，此時函數(shù)
單調(diào)遞增；
當(dāng)時，
，此時函數(shù)單調(diào)遞減.
，
，當(dāng)
，
，
當(dāng)
時，
，則
；
當(dāng)
時，
，則
.
所以，函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞增，在區(qū)間
單調(diào)遞減，則
，且當(dāng)時，
，
所以，.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】從某校隨機抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)，整理得到頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖如下．
組號 | 分組 | 頻數(shù) |
1 | [0，2） | 6 |
2 | [2，4） | 8 |
3 | [4，6） | 17 |
4 | [6，8） | 22 |
5 | [8，10） | 25 |
6 | [10，12） | 12 |
7 | [12，14） | 6 |
8 | [14，16） | 2 |
9 | [16，18） | 2 |
合計 | 100 |
（1）從該校隨機選取一名學(xué)生，試估計這名學(xué)生該周課外閱讀時間少于12小時的頻率；
（2）求頻率分布直方圖中的a，b的值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩校各有3名教師報名支教，期中甲校2男1女，乙校1男2女．
（1）若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率；
（2）若從報名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來自同一學(xué)校的概率．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】一商家誠邀甲、乙兩名圍棋高手進(jìn)行一場網(wǎng)絡(luò)國棋比賽，每比賽一局商家要向每名棋手支付2000元對局費，同時商家每局從轉(zhuǎn)讓網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)播權(quán)及廣告宣傳中獲利12100元，從兩名棋手以往比賽中得知，甲每局獲勝的概率為
，乙每局獲勝的概率為
，兩名棋手約定：最多下五局，先連勝兩局者獲勝，比賽結(jié)束，比賽結(jié)束后，商家為獲勝者頒發(fā)5000元的獎金，若沒有決出獲勝者則各頒發(fā)2500元.
（1）求下完五局且甲獲勝的概率是多少；
（2）求商家從這場網(wǎng)絡(luò)棋賽中獲得的收益的數(shù)學(xué)期望是多少.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】現(xiàn)代社會對破譯密碼的難度要求越來越高.有一種密碼把英文的明文（真實文）按字母分解，其中英文的a，b，…，z這26個字母（不論大小寫）依次對應(yīng)1，2，…，26這26個自然表，見表
a | b | c | d | e | f | g | h | i | j | k | l | m |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
n | o | p | q | r | s | t | u | v | w | x | y | z |
14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |
給出如下一個變換公式：
利用它可將明文轉(zhuǎn)換成密文，如
，即h變成q；
，即e變成c，按上述公式，若將某明文譯成的密文是shxc，那么，原來的明文是（ ）.
A. lhho B. ohhl C. love D. eovl
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】袋子中有四張卡片，分別寫有“瓷、都、文、明”四個字，有放回地從中任取一張卡片，將三次抽取后“瓷”“都”兩個字都取到記為事件
，用隨機模擬的方法估計事件發(fā)生的概率.利用電腦隨機產(chǎn)生整數(shù)0，1，2，3四個隨機數(shù)，分別代表“瓷、都、文、明”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取卡片三次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù)：
232 | 321 | 230 | 023 | 123 | 021 | 132 | 220 | 001 |
231 | 130 | 133 | 231 | 031 | 320 | 122 | 103 | 233 |
由此可以估計事件發(fā)生的概率為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】直角坐標(biāo)系中曲線
的參數(shù)方程：
（
為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點為極點，
軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，
點的極坐標(biāo)
，在平面直角坐標(biāo)系中，直線
經(jīng)過點，傾斜角為
.
（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程；
（2）設(shè)直線與曲線相交于
兩點，求
的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，其中
為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）若
，求證：
；
（2）若
時，
，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在正三棱柱
中，
，
，由頂點
沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱
到頂點
的最短路線與棱的交點記為
，求：
（1）三棱柱的側(cè)面展開科的對角線長；
（2）該最短路線的長及
的值；
（3）平面
與平面
所成二面角（銳角）的大小.
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