Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d＞0，設(shè){a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，S₂•S₃=36．
（Ⅰ）求d及S_n；
（Ⅱ）求m，k（m，k∈N^*）的值，使得a_m+a_m+1+a_m+2+…+a_m+k=65．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于公差d的二次方程求解，注意d的范圍對(duì)方程的根進(jìn)行取舍；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，對(duì)a_m+a_m+1+a_m+2+…+a_m+k=65化簡(jiǎn)，列出關(guān)于m、k的方程，再由m，k∈N^*進(jìn)行分類討論，求出符合條件的m、k的值．

解答： 解：（Ⅰ）由a₁=1，S₂•S₃=36得，
（a₁+a₂）（a₁+a₂+a₃）=36，
即（2+d）（3+3d）=36，化為d²+3d-10=0，
解得d=2或-5，
又公差d＞0，則d=2，
所以S_n=na1+

n(n-1)

2

•d=n²（n∈N^*）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a_n=1+2（n-1）=2n-1，
由a_m+a_m+1+a_m+2+…+a_m+k=65得，

(k+1)(am+am+k)

2

=65，
即（k+1）（2m+k-1）=65，
又m，k∈N^*，則（k+1）（2m+k-1）=5×13，或（k+1）（2m+k-1）=1×65，
下面分類求解：
當(dāng)k+1=5時(shí)，2m+k-1=13，解得k=4，m=5；
當(dāng)k+1=13時(shí)，2m+k-1=5，解得k=12，m=-3，故舍去；
當(dāng)k+1=1時(shí)，2m+k-1=65，解得k=0，故舍去；
當(dāng)k+1=65時(shí)，2m+k-1=1，解得k=64，m=-31，故舍去；
綜上得，k=4，m=5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，及分類討論思想和方程思想，難度較大，考查了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．